هندسه فراکتال و تخلخل

فراکتال جسم یا ساختاری است که در تمام مقیاس های طولی خود مشابه است. هندسه فراکتال یک ابزار ریاضی عالی است که در مطالعه اجسام هندسی نامنظم استفاده می شود. مفهوم بعد فراکتال، D، به عنوان معیاری از پیچیدگی تعریف شده است. مفهوم هندسه فراکتال ارتباط نزدیکی با تغییرپذیری مقیاس دارد و چارچوبی را برای تحلیل پدیده های طبیعی در حوزه های مختلف علمی و مهندسی فراهم می کند. ارتباط روابط مقیاس بندی قانون قدرت مورد بحث قرار گرفته است. ویژگی های فراکتالی محیط متخلخل و روش مشخصه محیط متخلخل نیز مورد بحث قرار می گیرد. روش های مختلف تجزیه و تحلیل در مورد نفوذپذیری محیط متخلخل در این فصل مورد بحث قرار می گیرد.

کلید واژه ها

• هندسه فراکتال
• ساختار فراکتال
• بعد فراکتال
• رسانه متخلخل
• نفوذپذیری

اطلاعات نویسنده

اولورانتی آگبولا *

• گروه مهندسی شیمی، دانشگاه میثاق، نیجریه
• گروه مهندسی شیمی، متالورژی و مواد، دانشگاه صنعتی Tshwane، آفریقای جنوبی

موریس استیون اونیانگو

• گروه مهندسی شیمی، متالورژی و مواد، دانشگاه صنعتی Tshwane، آفریقای جنوبی

پاتریشیا پوپولا

• گروه مهندسی شیمی، متالورژی و مواد، دانشگاه صنعتی Tshwane، آفریقای جنوبی

اوپیمی آلیس اویو

• گروه مهندسی شیمی، متالورژی و مواد، دانشگاه صنعتی Tshwane، آفریقای جنوبی

* آدرس کلیه مکاتبات به: [email protected]. com

1. مقدمه

فراکتال یکی از موضوعاتی است که اخیراً در علوم طبیعی و علوم اجتماعی مورد توجه قرار گرفته است. فراکتال به جسم هندسی گفته می شود که ابعاد فراکتالی آن بزرگتر از بعد توپولوژیکی آن باشد. بسیاری از فراکتال ها نیز دارای خاصیت شباهت خود هستند. در داخل فراکتال کپی دیگری از همان فراکتال وجود دارد، کوچکتر اما کامل. مندلبروت [1] به فراکتال ها به عنوان ساختارهایی متشکل از بخش هایی اشاره کرد که به نوعی شبیه به اعداد صحیح هستند. فراکتال ها دارای یک بعد ظریف (غیر عدد صحیح) (D) هستند که همیشه کوچکتر از بعد توپولوژیکی است. در 40 دهه گذشته، نظریه فراکتال به طور قابل توجهی به توصیف توزیع مقادیر فیزیکی یا سایر مقادیر با پشتوانه هندسی کمک کرده است. در علم و مهندسی، هندسه فراکتال طیف وسیع و چارچوب نظری قدرتمندی را ارائه می‌کند که برای توصیف سیستم‌های پیچیده استفاده می‌شود، که با موفقیت در توصیف کمی ریزساختارها مانند زبری سطح و ساختار فلزی آمورف استفاده شده است [2].

به طور معمول ، عناصر ریزساختار را می توان با استفاده از بعد اقلیدسی (D) توضیح داد. با توجه به نقص نقطه (به عنوان مثال ، جای خالی و اتم های بینابینی) ، D = 0 ؛با توجه به نقص خطی (جابجایی) ، d = 1 ؛با توجه به نقص مسطح (دوقلوها) ، d = 2 ؛و با توجه به سازندهای سه بعدی (3 - D) ، D = 3. با این وجود ، از بعد اقلیدسی نمی توان برای نشان دادن عناصر ساختاری متفاوت از موارد استاندارد (به عنوان مثال ، نقاط یا خطوط مستقیم) استفاده کرد. بنابراین ، یک مرز دانه شناخته شده ، که مهمترین عنصر ریزساختار است ، منحنی است و این شکل را می توان با بعد فراکتال (D) در ارتباط با 1 ≤ D ≤ 2 توصیف کرد. ابعاد ریز که متناسب با دامنه 2 ≤ D ≤ 3 [3] است. بنابراین ، تئوری فراکتال یک پارامتر کمی جدید - ابعاد خارق العاده برای نشان دادن ساختارها را معرفی می کند ، که به دلیل ماهیت جهانی آن ، برای نشان دادن ساختارها در انواع سیستم ها مناسب است. با داشتن سیستمی مانند جامد تغییر شکل ، مفهوم فراکتال امکان نشان دادن کمی از عناصر ریزساختار اولیه (به عنوان مثال ، مراحل ، دانه ، مرزها و غیره) و ساختارهای تشکیل شده در طول تغییر شکل را فراهم می کند [3]. بنابراین تئوری فراکتال روشی جدید و مؤثر برای توصیف ساختار پیچیده مواد مهندسی فراهم می کند. تئوری فراکتال ها مبنایی برای توصیف کمی با استفاده از بعد فراکتال ساختارهای مختلف در نظر گرفته می شود.

یک مورفولوژی بسیار بی نظم ، مانند زبری سطح و رسانه های متخلخل که دارای خاصیت خودآگاهی هستند ، توسط هندسه فراکتال مورد بررسی قرار می گیرد. این بدان معنی است که مورفولوژی در بزرگنمایی در یک محدوده وسیع مشابه باقی می ماند. یکی دیگر از ویژگی های مهم شکستگی طبیعی این است که تشکیل آنها به تأمین مقدار زیادی انرژی در خارج نیاز دارد [3]. اگر تشکیل ریزساختار به طور ترجیحی ناشی از پدیده هایی باشد که در خارج از تعادل ترمودینامیکی اتفاق می افتد ، آنها همچنین با خاصیت فراکتال مشخص می شوند. این بدان معنی است که توصیف ریزساختارهای بسیار بی نظم بر اساس رویکرد معمولی کافی نیست [3]. بنابراین ، بسیاری از اشیاء موجود در طبیعت بی نظم و نامنظم هستند و به دلیل اقدامات وابسته به مقیاس از طول ، مساحت و حجم ، از تصویر اقلیدسی پیروی نمی کنند [4 ، 5]. نمونه هایی از چنین اشیاء سطوح کوه ها ، خطوط ساحلی ، ریزساختار فلزات و غیره است. این اشیاء فراکتال نامیده می شوند و با ابعاد غیر انتهایی معروف به بعد فراکتال نشان داده می شوند [1]. خاصیت فراکتال یک خاصیت فیزیکی است که در سطح فوق العاده مولکولی ، در مقیاس میکروسکوپی و در مقیاس ماکروسکوپی بیان شده است.

پدیده فراکتال در طیف گسترده ای از مواد مانند شکستگی کامپوزیت های نانوذرات [6-8] ، رشد کریستال [9–12] ، ساختار شبه کریستالی [13] ، شکستگی مورفولوژی مارتنسیت فراگیر است [14]، 15] ، مواد متخلخل [16-19] ، و فیلم سپرده شده [20-25]. این مواد از کلاس غیر معمول مواد بی نظم هستند و معمولاً ریزساختارهای پیچیده ای را نشان می دهند. تئوری فراکتال از آنجا که در سال 1982 توسط Mandelbrot [1] ارائه شده است ، در بسیاری از زمینه های علوم مدرن به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفته است. در مطالعه نفوذپذیری رسانه های متخلخل استفاده شده است [17 ، 26-28] ، رسانه های دوگانه [29 ، 30] ، ارزیابی ساختار جابجایی [31] ، شبیه سازی عدم موفقیت بتن [32-35] ، تجزیه و تحلیل سطوح شکستگی یا شبکه [36 ، 37] و عملکرد هدایت حرارتی [38]. Fractal همچنین برای ایجاد مورفولوژی اشیاء بسیار نامنظم که بر روی فضاهای دو و سه بعدی تعبیه شده اند استفاده شده و به عنوان ابعاد فراکتال دو و سه بعدی تعریف شده است [39].

2. ساختار فراکتالی

ساختار فراکتال ساختاری است که با خودآگاهی خود مشخص می شود ، یعنی از چنین قطعاتی تشکیل شده است که در صورت تغییر مقیاس ، نقوش ساختاری تکرار می شود. ساختار فراکتال میزان اشغال یک ساختار را در یک فضا (بعد) بیان کرد ، که یک مقدار عدد صحیح نیست. بنابراین ، فراکتال N intionion یک موقعیت واسطه ای را اشغال می کند که بین اشیاء بعدی N - بعدی و (N + 1) قرار دارد. توابع بازگشتی برای ساخت یک شیء فراکتال استفاده می شود. ویژگی مهم ساختار فراکتال استقلال مقیاس است [40]. بنابراین ، ساختارهای فراکتال یک مقیاس طول واحد ندارند و فرآیندهای فراکتال (به عنوان مثال ، سری زمانی) را نمی توان با یک مقیاس زمانی واحد مشخص کرد [41]. ساختارهای فراکتال با ساختارهای هندسی خشن یا تکه تکه شده همراه هستند [42]. پیچیدگی یک ساختار فراکتال با بعد فراکتال آن شرح داده شده است. این بیشتر از بعد توپولوژیکی است. بدست آوردن بعد فراکتال از مجموعه داده ها با استفاده از تجزیه و تحلیل فراکتال ، به عنوان مثال ، تصاویر دیجیتالی ، به دست آمده از بررسی پدیده های طبیعی و از مدلهای نظری بسیار ساده تر است. تکنیک های مختلف برای انجام تجزیه و تحلیل فراکتال شامل محوطه سازی جعبه ، تجزیه و تحلیل لاکناریت ، تجزیه و تحلیل چند عاملی و روش های جرم است. کاربرد جالب تجزیه و تحلیل فراکتال توضیحات سطوح شکستگی است [43]. ماندلبروت و همکاران.[42] نشان داده اند که سطوح شکسته شده شکستگی هستند. ژانگ [44] رابطه چند جمله ای درجه دوم بین گرایش پشت سر هم سنگ و بعد شکستگی سطح شکستگی را گزارش کرد. آستانه ابعاد فراکتال d ^ f یافت شد ، و بین شاخص تمایل به پشت سر هم سنگ و بعد فراکتال همبستگی مثبت وجود دارد که d f ≤ d ^ f ، یک همبستگی معکوس هنگامی که d f ≤ d ^ f. در بررسی سطوح شکستگی ، لیانگ و وو رابطه بین بعد شکستگی سطح شکستگی و استحکام تأثیر نانوکامپوزیتهای پلی پروپیلن را بررسی کردند. یک همبستگی قوی مشاهده شد ، و نشان داد که سطح شکستگی کامپوزیت ها فراکتال است ، و رابطه بین قدرت ضربه و بعد شکستگی کامپوزیت ها تقریباً از عملکرد نمایی پیروی می کنند [7]. لونگ و همکاران. همچنین نشان داده اند که بین زبری و بعد فراکتال سطح رابطه وجود دارد [45].

3. تجزیه و تحلیل فراکتال

تجزیه و تحلیل فراکتال به عنوان یک روش معاصر برای استفاده از ریاضیات غیر سنتی در الگوهای تعریف شده است که از درک با مفاهیم سنتی اقلیدسی سرپیچی می کند. این به معنای ارزیابی توضیحات فراکتال داده ها است و این یک روش متداول برای مطالعه انواع مشکلات است. این روش از روشهای مختلفی تشکیل شده است که به یک بعد فراکتال و سایر خصوصیات فراکتال به یک مجموعه داده اختصاص داده شده است. در اصل ، پیچیدگی را با استفاده از بعد فراکتال اندازه گیری می کند. در تجزیه و تحلیل فراکتال ، سایر پارامترهای مختلف نیز می توانند [43] ارزیابی شوند ، به عنوان مثال ، لاکناریت و سوکریستی ، و می توان برای طبقه بندی و بخش های تصاویر استفاده کرد [46]. هر نوع تجزیه و تحلیل فراکتال باید انجام شود ، همیشه بر نوعی ابعاد فراکتال استوار است. در تجزیه و تحلیل فراکتال ، پیچیدگی یک تغییر در جزئیات با تغییر در مقیاس است. ساده ترین شکل بعد فراکتال با استفاده از رابطه در Eq شرح داده شده است.(1).

جایی که n تعداد "قطعات" خودکشی است ، S عامل مقیاس گذاری خطی (اندازه) قطعات به کل ، D ابعادی است که رابطه (ثابت) بین اندازه و تعداد را مشخص می کند. تنظیم مجدد عناصر در Eq.(1) ، می توان برای d حل کرد.

D یک معادله جبری است ، یعنی Eq.(1) می تواند ابعادی را ارائه دهد ، که مفهوم هندسه است ، نه جبر. بیایید بگوییم ، یک خط بعدی به قطعات بریده می شود ، که هر یک از آنها کسری از خط اصلی است ، مانند ساخت S = 1/4. به عنوان مثال ، خط یک بعدی را می توان به قطعاتی برش داد به گونه ای که هر یک از یک چهارم اندازه خط اصلی خواهد بود ، سپس N برابر با چهار خط کوچک خواهد بود. سپس می توان گفت که Eq.(1) به خط به ابعاد فراکتال d = 1 می دهد ، زیرا n = 1 / (1 4) 1. اگر یک منطقه مربع دو بعدی به قطعات بریده شود ، که در آن یک چهارم به اندازه مربع اصلی است ، سپس n = 16 مربع کوچک. Eq(1) سپس می گوید که مساحت مربع دارای ابعاد فراکتال d = 2 است ، زیرا n = 1 / (1 4) 2. اگر یک حجم مکعب سه بعدی به قطعات بریده شود ، به گونه ای که طرف آن یک چهارم اندازه مکعب اصلی است ، N برابر با 64 مکعب کوچک خواهد بود. Eq(1) سپس می گوید که حجم مکعب دارای ابعاد فراکتال d = 3 است ، زیرا n = 1 / (1 4) 3. مهم نیست که مقدار S ، N هنوز به عنوان قطعات 1 / s d پیدا شود که اشیاء یک ، دو و سه بعدی به قطعات بریده شوند. بنابراین ، Eq.(1) ابعاد فراکتال صحیح را برای یک خط یک بعدی ، منطقه دو بعدی و حجم سه بعدی نشان می دهد [47].

3. 1مفاهیم بعد فراکتال

نسبت که شاخص آماری پیچیدگی را نشان می دهد و مقایسه می کند که چگونه یک شکل دقیق (الگوی فراکتال) با مقیاس تغییر می کند که در آن اندازه گیری می شود ، ابعاد فراکتال نامیده می شود. گاهی اوقات با اندازه گیری حجم پر کردن فضا از الگویی مشخص می شود که بیان می کند که چگونه یک مقیاس فراکتال با فضایی که در آن ریشه دارد متفاوت است. بعد فراکتال همیشه یک عدد صحیح نیست [48-50]. چندین مفهوم مختلف از بعد فراکتال پیکربندی هندسی وجود دارد [5].

چندین روش برای اندازه گیری ابعاد فراکتالی مرتبط با طول وجود دارد. Mandelbrot [51] برای اولین بار مفهوم یک بعد فراکتال را برای توصیف ساختارها پیشنهاد داد ، که در تمام مقیاس های طول یکسان به نظر می رسند. مفهوم وی اندازه گیری محیط یک شی با چندین طول حاکمان (دهانه یا کالیپر) (با استفاده از روش ردیابی) را در نظر می گیرد. برای یک شیء فراکتال ، نقشه ورود به سیستم محیط در برابر ورود به طول خط کش ، یک خط مستقیم با یک شیب منفی می دهد. سپس این طرح به d = 1 - s [52] منجر می شود. اگرچه این مفهوم عمدتاً ریاضی است ، اما نمونه های بسیاری در طبیعت که می توانند از نزدیک به اشیاء فراکتالی نزدیک شوند ، فقط برای طیف وسیعی از مقیاس خاص در دسترس هستند. امثال این اشیاء به طور کلی به منظور نشان دادن ساختار ثابت مقیاس آنها ، خو د-ssimilar نامیده می شوند. ویژگی مشترک چنین اشیاء این است که طول آنها (برای یک شیء منحنی ، در غیر این صورت می تواند منطقه یا حجم باشد) عمدتا در مقیاس طول مورد استفاده برای اندازه گیری آن قرار می گیرد و بعد فراکتال ماهیت دقیق این اعتماد را فراهم می کند [53]وادابعاد فراکتال (D) اعدادی است که برای تعیین کمیت این خصوصیات استفاده می شود [5]. در هندسه فراکتال [1] ، بعد فراکتال ، D ، به این صورت داده شده است:

این یک مقدار آماری است که نشان می دهد چگونه یک فراکتال در هنگام مشاهده در مقیاس های ظریف ، فضا را کاملاً پر می کند.

مفهوم دوم توسط پنتلند بر این اساس اثبات شد که تصویر یک شیء فراکتال نیز یک فراکتال است [54] ، که تحقیقات علمی در مورد روش های تخمین ابعاد فراکتال تصاویر انجام داده است. بسیاری از محققان تلاش های زیادی را در این زمینه از هندسه فراکتال انجام داده اند ، و روش های بسیاری برای برآورد ابعاد فراکتال برخی از اشیاء خاص از زمان ایجاد نظریه هندسه فراکتال پیشنهاد شده است. روشهای معمولی این مفهوم شامل استفاده از تجزیه و تحلیل طیفی و شمارش جعبه است. معمولاً ، روش تجزیه و تحلیل طیفی به منظور به دست آوردن ضرایب و میانگین چگالی انرژی طیفی ، تحول سریع فوریه (FFT) را برای تصویر اعمال می کند. بعد فراکتال را می توان با تجزیه و تحلیل اعتماد به نفس قانون قدرت به چگالی انرژی طیفی و اندازه مربع ارزیابی کرد [55]. روش شمارش جعبه ، روش گسترده ای برای محاسبه ابعاد فراکتال در علوم طبیعی است. به این ابعاد با جعبه - شمارش گفته می شود. این روشی است که بر اساس مفهوم "پوشاندن" مرز ، به عنوان روش شبکه نیز شناخته می شود. مجموعه جعبه های مربع (یعنی شبکه ها) در اینجا برای پوشاندن مرز استفاده می شود. هر مجموعه با اندازه جعبه نشان داده شده است. تعداد جعبه های ضروری برای پوشاندن مرز تابعی از اندازه جعبه در نظر گرفته می شود. شکل 1 نمونه ای از ورود به تعداد جعبه های پوشش هر اندازه است که طول یک لبه جعبه ترسیم شده در برابر ورود به طول یک لبه جعبه. علاوه بر این ، یک خط مستقیم با شیب S که برابر با ابعاد D است به دست می آید [52]. شیب به عنوان مقدار تغییر در امتداد y ancis تعریف می شود ، که بر اساس میزان تغییر در طول x ‐axis تقسیم می شود. هر نتیجه ای با شیب تندتر نشان می دهد که جسم "فراکتال" تر است ، به این معنی که با کاهش اندازه جعبه ، پیچیدگی را بدست می آورد. هر نتیجه با یک شیب با ارزش پایین نشان می دهد که جسم به یک خط مستقیم ، کمتر "فراکتال" نزدیکتر است و با افزایش بزرگنمایی ، مقدار جزئیات به سرعت رشد نمی کند. مجدداً ، فضای 3 - D حاوی یک شیء خاص ، که به جعبه هایی با اندازه مشخص تقسیم می شود و چه تعداد جعبه می تواند جسم را پر کند ، نیز به حساب می آید. با استفاده از نسبت R در Eq.(1) ، به منظور تصمیم گیری در مورد اندازه جعبه ، روش شمارش جعبه تعداد کل جعبه ها (به عنوان مثال ، NR از معادله (1)) را که برای تشکیل شیء لازم است ، به خود اختصاص می دهد. بعد فراکتال d از Eq.(1) سپس با شمارش NR برای نسبت مقیاس بندی مختلف R [56] می توان از حداقل تناسب خطی مربع (NR) در مقابل ورود به سیستم (1/ R) تخمین زد.

شکل 1.

نمونه ای از بعد فراکتال یک ماده.

برای محاسبه ابعاد فراکتال تصاویر ، چندین روش شمارش جعبه سنتی استفاده شده است ، این شامل روش جعبه اعضه دیفرانسیل (DBC) است [57] ، رویکرد چن و همکاران [58] ، روش شمارش سلول های شبکیه [[58]59] ، روش فنگ [60] ، و غیره. ثابت شده است که روش DBC عملکرد بهتری نسبت به سایر روشها دارد [61]. تجزیه و تحلیل های بسیاری به منظور بهبود روش DBC انجام شده است [62-64].

مفهوم سوم توسط Flook [65] ایجاد شد و روش این مفهوم را روش اتساع نامیده اند. اتساع در این مورد به معنای گشاد شدن و هموار شدن مرز است. این را می توان با عملیات کانولوشن با یک دیسک باینری انجام داد، یعنی تمام اجزای غیر صفر همه هسته های کانولوشن دارای یک مقدار واحد (بولی) هستند. نتیجه یک حاشیه ضخیم اما در مقیاس خاکستری است. وقتی این مرز به مقادیر یک بولی برمی‌گردد، تمام پیکسل‌های غیر صفر به یک بولی تبدیل می‌شوند. سرعتی که در آن سطح کل مرز به عنوان تابعی از قطر هسته کانولوشن افزایش می یابد به بعد D بستگی دارد. لاگ هر ناحیه حاصل، تقسیم بر قطر هسته، در برابر لاگ قطر هسته ترسیم می شود [52]. یک خط مستقیم با شیب منفی S و D را می توان بیشتر تخمین زد.

3. 2. رابطه مقیاس بندی قانون قدرت

یک رابطه عملکردی بین دو کمیت به عنوان قانون قدرت شناخته می شود. این رابطه زمانی اتفاق می‌افتد که تغییر نسبی در یک کمیت منجر به تغییر متناسب در کمیت دیگر و مستقل از اندازه اولیه آن کمیت‌ها شود. بنابراین، یک کمیت به عنوان قانون قدرت به کمیت دیگر تغییر می کند. مشخصه فراکتال ها به عنوان مقیاس بندی قانون قدرت شناخته می شود. بنابراین، رابطه ای که یک خط مستقیم روی مختصات log-log ایجاد می کند، اغلب می تواند یک شی یا پدیده را به عنوان فراکتال شناسایی کند. اگرچه همه روابط قانون قدرت ناشی از فراکتال ها نیستند، یک ناظر باید وجود چنین رابطه ای را در نظر بگیرد تا بداند آیا سیستم خود مشابه است یا خیر [66]. خود شباهت ها نشان دهنده وجود رابطه مقیاس بندی است که بر نوع رابطه ای به نام "قانون قدرت" دلالت دارد. بنابراین، تشابهات خود باعث ایجاد مقیاس بندی قانون قدرت می شود. زمانی که لگاریتم اندازه گیری در برابر لگاریتم مقیاسی که در آن اندازه گیری می شود رسم می شود، مقیاس های قانون توان به صورت یک خط مستقیم نشان داده می شود. بعد فراکتال مبتنی بر شباهت های خود است. بنابراین، مقیاس بندی قانون توان می تواند برای تعیین بعد فراکتال استفاده شود. برای اینکه مجموعه‌ای به پیچیدگی و بی‌نظمی یک فراکتال دست یابد، تعداد قطعات خود مشابه باید با قانون توان مربوط به اندازه آنها باشد [47]. مقیاس بندی قانون توان توضیح می دهد که چگونه ویژگی L (r) سیستم به مقیاس r که در آن با استفاده از رابطه معادله اندازه گیری می شود بستگی دارد.(4).

بعد فراکتال با استفاده از رابطه در معادله توضیح می دهد که چگونه تعداد قطعات یک سیستم به مقیاس r بستگی دارد.(5).

جایی که B یک ثابت است. شباهت بین معادلات(4) و (5) به این معنی است که اگر بدانیم ویژگی اندازه گیری L (r) چگونه به تعداد قطعات N (r) بستگی دارد، می توان بعد فراکتال D را از توان مقیاس α تعیین کرد. به عنوان مثال، برای هر مربع کوچک اضلاع یک جسم با مساحت دو بعدی، مساحت سطح با r 2 متناسب است. بنابراین، می توان با نشان دادن اینکه رابطه پوسته پوسته شدن سطح به مقیاس r بستگی دارد، بعد فراکتال بیرونی چنین جسمی را تعیین کرد. به عنوان مثال، برای تعیین بعد فراکتال D از توان مقیاس، استخراج تابع بعد f (D) است، به طوری که خاصیت اندازه گیری شده با rf (D) متناسب است [66]. اگر مقیاس تعیین شده تجربی مشخصه اندازه گیری شده متناسب با r α باشد، آنگاه توان مقیاس r را می توان با رابطه در معادله برابر دانست.(6):

سپس، می توان برای D حل کرد.

4. خصوصیات فراکتالی محیط متخلخل

رسانه های متخلخل شامل بسیاری از مواد دست ساز و همچنین مواد طبیعی هستند. تمام مواد جامد در واقع متخلخل هستند یا تا حدی یا در مقیاس طول [67]. یک محیط متخلخل یک محیط متصل به طور تصادفی چند متصل است که کانالهایی به طور تصادفی مانع آن می شوند. مقادیری که اندازه گیری این ماده به دلیل وجود این کانال ها اندازه گیری می شود و به آن تخلخل محیط گفته می شود. توضیحات شبکه منافذ می تواند محیط متخلخل را به عنوان یک گروه از منافذ و گلو هندسه ها و اندازه های مختلف نشان دهد که می تواند مقادیر توزیع های مناسب را بدست آورد [68]. بنابراین ، تئوری فراکتال لایه ای مطلوب از ساختارهای مدل های مختلف را ارائه می دهد که به پیچیدگی رسانه های متخلخل بی نظم ، ناهمگن و سلسله مراتبی مانند خاک ، موادی با شبکه های شکستگی می پردازد. از لحاظ تئوریکی ، یو و همکاران.[69] مروری بر خصوصیات فیزیکی رسانه های متخلخل ایده آل Fractal ارائه داد و توضیح داد که چگونه مواد ناهمگن طبیعی می توانند مقیاس بندی جرم و منافذ را نشان دهند. Cihan و همکاران.[70] مدلهای تحلیلی جدیدی را برای پیش بینی هدایت هیدرولیک اشباع بر اساس فراکتال جرم اسفنجی منگن گزارش داد. آنها پیش بینی های مدل خود را در برابر شبیه سازی های شبکه Boltzmann از جریان انجام شده در تنظیمات مختلف اسفنج منگر آزمایش کردند.

از مدل های فراکتال برای توصیف حجم جامد ، حجم منافذ یا رابط بین دو مرحله از رسانه های متخلخل استفاده شده است. در سه دهه گذشته ، مدلهای فراکتالی از فضای منافذ در فیزیک نفتی با کاربرد در سیستم هیدرولیک و در جوامع مهندسی با هدایت الکتریکی کاربرد تهیه و مورد استفاده قرار گرفتند [71 ، 72]. Turcotte [73] یک مدل تکه تکه شدن فراکتال را ارائه داد ، که یک مبنای فیزیکی برای وجود خاکهای فراکتال در تغییر مقیاس از تکه تکه شدن ذرات خاک را مشخص کرد. از این رو ، مدل او مکانیسمی را روشن کرد که در آن فرآیندهای تکه تکه شدن مستقل از مقیاس می توانند توزیع فراکتال ذرات را تشکیل دهند و مشروعیت نظری را به مطالعه مدلهای فراکتالی در محیط متخلخل ارائه می دهند. تکه تکه شدن را می توان به عنوان مکانیسم اصلی هوازدگی جسمی تلقی کرد [67].

4. 1روش مشخصه رسانه های متخلخل

هانت [67] اظهار داشت که ویژگی های مدل به گونه ای تعریف شده است که کارکردهای تخلخل و احتباس آب با مدل های فراکتالی گسسته و صریح Rieu و Sposito [74] یکسان است (از این پس مدل RS نامیده می شود). آنها با توصیف کسری از اندازه منافذ مجازی در یک محیط متخلخل شروع کردند که یک پایه آسان را که مفهوم فراکتال ماتریس جامد و فضای منافذ را مفهوم سازی می کند ، فراهم می کند. این مفاهیم منجر به معادلات مورد استفاده در حل تخلخل و چگالی فله هر دو بخش اندازه و محیط متخلخل از نظر بعد فراکتال مشخصه ، د.

یک محیط متخلخل با تخلخل از طیف گسترده ای از اندازه منافذ در نظر گرفته شد ، تخلخل در قطر میانگین (یا میانه) از p 0 - P m - 1 (M ≥ 1) کاهش می یابد. یک عنصر فله ای از محیط متخلخل دارای حجم V 0 است که به اندازه کافی عظیم است که حاوی تمام اندازه منافذ است. دارای تخلخل φ و چگالی فله خشک σ 0 است. آنها توزیع حجم منافذ V از V 0 را از نظر ریاضی به کسری از اندازه منافذ مجازی تقسیم کردند ، با کسری از اندازه مجازی که توسط: تعریف شده است:

جایی که P I نشان دهنده حجم منافذ کاملاً از اندازه P I موجود در V I است که حجم جزئی از محیط متخلخل است ، که خود دارای تمام منافذ با اندازه ≤ P I است. بنابراین حجم جزئی V I + 1 در V I گنجانیده شده است و حجم جزئی V M - 1 در کوچکترین اندازه منافذ P M - 1 ، همراه با حجم جامد باقیمانده که توسط V M نماد است ، گنجانیده شده است. آنها اظهار داشتند که مواد جامد که حجم آن V m است از نظر شیمیایی یا کانی شناسی همگن نخواهد بود. چگالی جرم آن ، که توسط σ m نماد است ، نشان دهنده چگالی متوسط "ذرات اولیه" است. Eq.

تخلخل محیط می تواند به عنوان [74] داده شود:

رفتن با بعد فراکتال Eq.(3) ، پیشنهاد شده توسط ماندلبروت [1] ، بعد فراکتال از نزدیک به ضریب منافذ ، γ [74] مرتبط است.

که ، با Eq.(3) ، نتایج به:

برای مقدار مشخصی از مکتب M ، تخلخل یک محیط متخلخل فراکتال با افزایش بعد فراکتال کاهش می یابد. علاوه بر این ، Eq.(13) نشان می دهد که بعد فراکتال یک محیط متخلخل باید باشد< 3.

علاوه بر این ، ادغام بر روی توزیع اندازه مداوم منافذ بین Q R و R ، جایی که q نسبت شعاع کلاسهای منافذ پی در پی در خاک فراکتال است ، r شعاع منافذ ، q است< 1 is an arbitrary factor, yields the contribution to the porosity from each size class obtained by RS model. The distribution of pore sizes is defined by the following probability density function [75]:

جایی که r 0 و r m به ترتیب صریحاً به شعاع حداقل و حداکثر منافذ مراجعه می کنند. توزیع قانون قدرت اندازه منافذ با حداکثر شعاع ، R M محدود شده و در حداقل شعاع ، R 0 کوتاه می شود. Eq(14) ، همانطور که نوشته شده است ، با یک جلد ، R 3 ، برای منافذ شعاع R و D P فضای منافذ را توصیف می کند. نتیجه تخلخل کل حاصل از Eq.(14) در [75] به عنوان:

Eq(15) دقیقاً مانند Rs (معادله (13)) است. اگر یک هندسه خاص برای شکل منافذ پیش بینی شود ، می توان فاکتور عادی سازی را تغییر داد تا نتیجه تخلخل را حفظ کند و همچنین مکاتبات Rs را حفظ کند [67].

4. 2تجزیه و تحلیل فراکتال در نفوذپذیری رسانه های متخلخل

جریان سیال از طریق رسانه های متخلخل توسط خواص هندسی ، مانند تخلخل ، خواص مایع جاری ، اتصال و شکنجه فضای منافذ اداره می شود.

پدیده های حمل و نقل در رسانه های متخلخل ، که شامل جریان مایع تک فاز و چند فاز از طریق رسانه های متخلخل ، حمل و نقل الکتریکی و آکوستیک در محیط متخلخل و انتقال حرارت در محیط های متخلخل است ، بر روی علایق مشترک متمرکز شده و به عنوان یک زمینه جداگانه مطالعه ظاهر شده اند [76-79]. یک ماتریس از یک محیط متخلخل همراه با شبکه های شکسته شده ، به عنوان یک محیط دوتایی دوگانه نامیده می شود. در رسانه های دوتایی ، شکستگی و ماتریس به طور کلی به عنوان رسانه های مختلف در نظر گرفته می شوند که هر کدام دارای خاصیت خاص خود هستند. بنابراین ، جریان گاز از طریق این رسانه های دوتایی دوگانه می تواند از دو فرآیند مهاجرت متمایز تشکیل شده باشد: یکی با حرکت گاز از طریق شکستگی های مقیاس بزرگتر ، یعنی یک جریان نفوذپذیری ، که می تواند توسط قانون دارسی توصیف شود ، همراه است. دیگر مربوط به حرکت گاز در داخل بلوک های ماتریس است ، یعنی فرآیندهای انتشار ، که ممکن است در چندین مکانیسم مختلف درگیر باشد ، با توجه به اندازه منافذ [30 ، 74 ، 80].

در واقعیت ، سطوح مویرگ ها خشن است و تأثیر زیادی در رفتار جریان سیال و نفوذپذیری یک محیط متخلخل دارد. از نظر تحلیلی ، بیان نفوذپذیری تابعی از زبری نسبی ، ابعاد فراکتال شکنجه ، اندازه مویرگ ها و زبری سطح ، همراه با پارامترهای ریزساختاری (مانند طول مشخصه ، حداکثر و حداقل قطر منافذ و ابعاد فراکتالی) است [19].

4. 3روشهای تجزیه و تحلیل فراکتال در نفوذپذیری رسانه های متخلخل

مدلهای فراکتالی ، چند مرحله ای ، گاوسی و ورود به سیستم ، ممکن است در همه محدوده مقیاس آغاز شود. اعتبارسنجی چارچوب نظری تغییر ناپذیر مورد استفاده در محاسبه خواص حمل و نقل ، حداقل در برخی از مقیاس ها ، ظرفیت از بین بردن سردرگمی زیادی در مورد رویکردهای نظری مناسب مورد استفاده و مدل مناسب برای انتخاب [67] است. به عنوان مثال ، یک دامنه جریان متشکل از بلوک های ماتریس (با نفوذپذیری کم) که در شبکه ای از شکستگی ها کاشته شده است ، تحقیق در مورد جریان گاز از طریق یک محیط دوتایی دوگانه است. مدل سازی فیزیکی و رایانه ای معمولاً برای نفوذپذیری رسانه های متخلخل استفاده می شود. روشهای مختلف تجزیه و تحلیل در مورد نفوذپذیری رسانه های متخلخل در این بخش مورد بحث قرار خواهد گرفت.

ژنگ و یو [30] با استفاده از رسانه های متخلخل ماتریس تعبیه شده با شبکه های درختی به طور تصادفی توزیع شده ، نفوذپذیری یک گاز را مورد مطالعه قرار دادند. بیان علمی برای نفوذپذیری گاز در رسانه های دوتایی دوگانه بر اساس اندازه منافذ ماتریس و قطر کانال مادر از شبکه های درختی مانند Fractal تعبیه شده که دارای توزیع فراکتال هستند ، بدست آمد. کشف شد که نفوذپذیری گاز تابعی از پارامترهای ساختاری است ، که شامل ابعاد فراکتالی برای منطقه منافذ و مویرگهای شفابخش ، تخلخل و حداکثر قطر ماتریس ، نسبت طول ، نسبت قطر ، سطح انشعاب و زاویه جاسازی شده است. شبکه های مورد استفاده برای رسانه های دوگانه. مدلی که آغاز شد ، حاوی ثابت تجربی نیست. پیش بینی های مدل با داده های تجربی موجود و نتایج شبیه سازی تأیید شد ، توافق منصفانه ای بین آنها یافت شد. تجزیه و تحلیل تأثیرات پارامترهای هندسی بر نفوذپذیری گاز در رسانه انجام شد.

خلیفات و همکاران.[80] به طور تجربی یک جریان گاز یک فاز را از طریق رسانه متخلخل شکسته از تشکیل شن و ماسه محکم از شکل گیری اوج تراویس در شرایط عملکرد مختلف مورد مطالعه قرار داد. مطالعه آنها باعث بهبودی گاز از مخازن نفوذپذیری کم با ایجاد یک شکستگی منفرد عمود بر جهت جریان شد. نمونه متوسط متخلخل که مورد توجه قرار گرفت ، یک ماسه محکم از نوع شکاف از شکل گیری اوج تراویس با نفوذپذیری در محدوده میکروداسی و تخلخل 7 ٪ بود. تعدادی از آزمایشات تک فاز که شامل آب و گاز است در شرایط مختلف افت فشار از 100 تا 600 psig و در فشارهای بار سنگین 2000 ، 3000 و 4000 psig انجام شد. از نتایج آنها نشان داده شد که نمونه مورد استفاده نسبت به فشار بار سنگین بسیار حساس بود. مجدداً از داده های تجربی نشان داده شد که وجود شکستگی در یک رسانه متخلخل نفوذپذیری کم عامل اصلی مسئول تقویت بازیابی گاز از مخازن گاز تنگ است. وجود یک شکستگی باعث تقویت جریان گاز می شود ، به دلیل افزایش نفوذپذیری کلی و ایجاد الگوهای مختلف جریان ، که به طور محلی جریان دو فاز را از ناحیه سلطه نیروی مویرگی دور می کند. علاوه بر این ، دیافراگم شکستگی به دلیل هر دو پیکربندی مجدد از منافذ اتصال و پیوستن به منافذ غیر اتصال به شبکه جریان ، نقش مهمی در تقویت جریان ایفا کرده است.

یک تکنیک به خوبی تست برای مخازن گاز شیل Devonian که با یک ذخیره سازی کم و جریان زیاد با ظرفیت بالا که توسط یک ماتریس سنگی با ظرفیت بالا و کم مصرف تغذیه می شود توسط Kucuk و Sawye [81] با استفاده از روش های تحلیلی و شبیه ساز عددی تهیه شده است. وادآنها به منظور تجزیه و تحلیل فاکتورهای قابل اندازه گیری مخزن اصلی که بر بهره وری چاه تأثیر می گذارند ، راه حل های تحلیلی ایجاد کردند. این عوامل قابل اندازه گیری تخلخل و نفوذپذیری سیستم شکستگی ، تخلخل ماتریس و نفوذپذیری و اندازه ماتریس است. آنها دریافتند که روش سنتی آزمایش چاه معمولاً برای مخازن گاز شیل Devonian Devonian کار نمی کند. بیشتر اوقات ، دو خط مستقیم موازی با جداسازی عمودی در طرح نیمه نهایی داده های کشش و ساخت - نمایش داده نمی شوند. آنها همچنین دریافتند که پارامتر جریان بین المللی تنها پارامتر نیست ، که ماهیت خط مستقیم نیمه مستقیم را مشخص می کند.

یک مدل نفوذپذیری فرض می شود که از مجموعه ای از مویرگهای پرتنش تشکیل شده است که توزیع اندازه و زبری سطوح آنها از قوانین مقیاس گذاری فراکتال پیروی می کند ، برای رسانه های متخلخل بدست آمده است [19]. مدل پیشنهادی شامل اثرات ابعاد فراکتال برای توزیع اندازه مویرگ ها ، برای شکنجه مویرگهای پرتنش و زبری سطوح بر روی نفوذپذیری است. مدل پیشنهادی توسط Eq آورده شده است.(16):

جایی که k_Rنفوذپذیری جریان در رسانه های متخلخل با سطوح سخت را نشان می دهد. Eq(16) نشان می دهد که نفوذپذیری تابعی از زبری نسبی ε ، ابعاد فراکتال d است_T(بعد فراکتال برای شکنجه مویرگهای پرتنش) و D_f(بعد فراکتال برای فضای منافذ) و همچنین پارامترهای ساختاری A (منطقه مقطعی) ، L₀(نماینده طول یا خط مستقیم در امتداد جهت جریان یک مویرگی)، و λ max (حداکثر قطر مویرگی). معادله(16) همچنین نشان می دهد که هر چه زبری نسبی بیشتر باشد، مقدار نفوذپذیری کمتر است. این را می توان با گفتن اینکه مقاومت جریان با افزایش زبری افزایش می یابد توضیح داد. این با یک وضعیت فیزیکی سازگار است [19].

معادله پیشنهادی(16) تابعی از زبری نسبی ε، بعد فراکتالی D است_Tبرای پیچ خوردگی مویرگ های پیچ در پیچ و پارامترهای ساختاری A، L₀و حداکثر λنسبت نفوذپذیری مویرگهای خشن به مویرگهای صاف از قانون توان چهارگانه (1-ε) که توسط معادله داده شده است پیروی می کند.(17). یعنی معادله(17) نشان داد که کاهش نفوذپذیری برای محیط های متخلخل با سطوح زبر در مویرگ ها از قانون توان چهارگانه (1-ε) پیروی می کند. نویسندگان به این نتیجه رسیدند که نفوذپذیری محیط متخلخل با مویرگ های زبر شده به شدت با افزایش زبری نسبی کاهش می یابد و مدل پیشنهادی می تواند مکانیسم های بیشتری را نشان دهد که بر مقاومت جریان در محیط متخلخل نسبت به مدل های معمولی تأثیر می گذارد [19]. K در معادله(17) نفوذپذیری محیط متخلخل با مویرگهای صاف است.

Zinovik و Poulikakos [82] روابط بین تخلخل و نفوذپذیری را برای مجموعه ای از مدل های فراکتالی با تخلخل نزدیک به وحدت و نفوذپذیری محدود ارزیابی کردند. بسته‌های لوله پری فراکتال تولید شده توسط تکرارهای محدود فراکتال‌های هندسی متناظر را می‌توان به عنوان یک محیط متخلخل مدل که در آن روابط نفوذپذیری-تخلخل به‌صورت تحلیلی به‌عنوان معادلات جبری صریح مشتق می‌شود، استفاده کرد. بررسی آنها نشان داد که دسته‌های لوله‌ای که توسط تکرارهای محدود فراکتال‌های هندسی متناظر ایجاد می‌شوند، می‌توانند برای مدل‌سازی محیط متخلخل که در آن روابط نفوذپذیری-تخلخل به صورت تحلیلی مشتق می‌شوند، استفاده شوند. همچنین نشان داده شد که مدل بسته‌های لوله پری فراکتال می‌تواند برای به دست آوردن منحنی‌های مناسب نفوذپذیری فوم‌های فلزی با تخلخل بالا و ارائه بینشی در مورد همبستگی‌های نفوذپذیری-تخلخل مدل مویرگی محیط متخلخل استفاده شود.

تمام روش‌های مورد بحث در اینجا نشان داده‌اند که نفوذپذیری یک محیط متخلخل به شدت تحت تأثیر هندسه و اتصال محلی آن، اندازه ماتریس ماده و منافذ موجود برای جریان است. همه روش ها مفهوم و دانش هندسه فراکتال را در رابطه با خصوصیات ساختار متخلخل با توجه به نفوذپذیری محیط متخلخل به دست دادند.

5. نتیجه گیری

فراکتال یک سیستم خود مشابه در نظر گرفته می شود. تأیید شده است که تکنیک فراکتال یک تکنیک قدرتمند است که با موفقیت در توصیف خواص هندسی و ساختاری سطوح فراکتال و ساختارهای منفذی مواد متخلخل استفاده شده است. این درک چگونگی تأثیر هندسه بر خواص فیزیکی و شیمیایی سیستم ها را به دست می دهد، زیرا الگوهای پیچیده آنها بهتر از نظر هندسه فراکتال توصیف می شوند، اگر خود تشابهی برآورده شود. همچنین پلی بین میکرومورفولوژی و عملکرد کلان ایجاد می کند. این فصل نشان می‌دهد که ویژگی‌های ساختاری و عملکردی مواد متخلخل به ساختار حفره‌ای بستگی دارد که می‌تواند به طور موثر توسط نظریه فراکتال توصیف شود.